Đường parabol toán 10: cách vẽ và lập phương trình cực dễ hiểu
1. Định nghĩa đường parabol
Theo định nghĩa toán học, parabol là một đường conic được tạo thành từ sự giao nhau giữa một hình nón và một mặt phẳng song song với trục chính của nó. Một parabol cũng có thể được xem như một tập hợp các điểm nằm trên một mặt phẳng và có tính chất là cách đều một điểm đã biết (gọi là tiêu điểm) và một đường thẳng đã biết (gọi là đường chuẩn).
Đường Parabol là tập hợp các điểm M có khoảng cách đều với cả điểm E và đường thẳng d.
Trong cuộc sống chúng ta có thể thấy có rất nhiều lĩnh vực sử dụng đường cong parabol như:.
Xây dựng:.
Cầu được xây dựng có dạng hình parabol với phần giữa lõm xuống phía dưới để phân phối lực một cách đều sang hai bên chân cầu, từ đó giảm tải trọng và làm cho cầu bền vững hơn. Do hình dạng parabol trên mặt cầu, các phương tiếp tuyến của mặt cầu giúp xe cộ di chuyển dễ dàng và lực tác động lên mặt cầu trở nên nhỏ hơn.
Ở các công viên giải trí, đường ray tàu lượn siêu tốc được thiết kế dưới hình dạng các cung đường parabol để làm tăng cảm giác mạnh cho người chơi và đồng thời cung cấp động lực cho tàu di chuyển.
Sản xuất mắt kính:
Công nghiệp sản xuất kính thiên văn phản xạ và đèn pin sử dụng đường cong parabol. Đường cong này giúp tăng cường ánh sáng và chiếu xa hơn so với mặt cầu phẳng.
Anten Parabol.
Gương hình parabol là một loại gương hoặc mảnh kim loại có khả năng phản chiếu và hội tụ ánh sáng hoặc các loại sóng điện từ khác tại một vị trí. Hiện nay, gương hình parabol được sử dụng phổ biến để làm ăng ten vi sóng hoặc chảo vệ tinh.
2. Phương trình đường parabol
2.1. Phương trình tổng quát đường parabol
Phương trình đường Parabol được biểu thị như sau: $y = ax^2 + bx + c $.
Tọa độ hoành của đỉnh chính là $-\frac{b}{2a}$.
Thay đổi tọa độ trục hoành vào phương trình trên, chúng ta sẽ tìm được hoành độ Parabol có công thức dưới dạng: $\frac{b^2-4ac}{4a}$.
Tọa độ đỉnh của đường parabol và hình dạng của nó phụ thuộc vào dấu của hệ số a.
2.2. Phương trình chính tắc đường parabol
Phương trình cơ bản của một parabol được biết dưới dạng: $y^2 = 2px (p > 0) $.
Chứng minh như sau: Cho đường bậc hai có tiêu điểm E và một đường vuông góc d.
Kẻ PE vuông góc với đường d (với P thuộc d) và chúng ta gọi PE là p.
Chúng tôi lựa chọn hệ trục tọa độ Oxy với điểm O là điểm trung bình của PE và điểm E nằm trên tia Ox.
Từ đó, chúng ta có: $E=(\frac{p}{2};0) , P=(-\frac{p}{2};0) $.
Từ đó chúng ta có phương trình của đường thẳng d là: $x + \frac{p}{2} = 0$.
Điểm M(x;y) thuộc parabol khi và chỉ khi khoảng cách ME bằng khoảng cách từ điểm M tới đường thẳng d, tức là $(x – \frac{p}{2})2+ y^2 = x+\frac{p}{2}$.
Phương trình chính tắc của parabol có dạng sau khi ta bình phương cả hai vế của đẳng thức và rút gọn: $y^2 = 2px (p > 0)$.
Nhanh chóng đăng ký để học tận hưởng kiến thức và phương pháp giải mọi loại bài tập Toán trong kỳ thi THPT Quốc Gia với bộ tài liệu độc quyền từ VUIHOC.
3. Cách vẽ đường cong parabol
Cách 1: Vẽ bằng công cụ như thước kẻ và compa.
Công cụ thông dụng để vẽ parabol là compa và thước kẻ, bởi vì nó tiện lợi và dễ dàng thực hiện.
Bước 1: Để khảo sát các điểm trên parabol, ta có thể sử dụng phương pháp đối xứng qua trục để chỉ cần khảo sát một bên của parabol.
Bước 2: Vẽ trục Ox vuông góc với trục Oy tại điểm O.
Bước 3: Trên trục Ox, tìm điểm E và M sao cho điểm M nằm ở giữa điểm O và điểm E. Kết quả là OM bằng ME.
Bước 4: Tìm một điểm M’ bất kỳ nằm trong ME, sau đó sử dụng thước thẳng để vẽ một đường đi qua M’ và song song với đường thẳng đã biết.
Sử dụng compa, ta quay một vòng cung với bán kính bằng kích thước của đoạn OM’. Điểm thuộc parabol là điểm cắt nhau giữa cung và nằm trên đường thẳng song song với đoạn OM.
Bước 6: Tiếp tục chọn thêm một số điểm từ ME và thực hiện các bước tương tự, sử dụng thước để nối các điểm lại với nhau tạo thành một parabol hoàn chỉnh.
Cách 2: Vẽ đường cong parabol bằng hàm bậc 2.
Phương trình bậc 2 có cấu trúc như sau: $y=ax^2+bx+c (a\neq 0)$.
Trong đó có a, b và c là các hằng số, và $a\neq 0$.
Đồ thị của hàm số bậc hai là một đường cong có hình chữ U được gọi là parabol.
Các hàm số bậc hai, hay biểu đồ parabol, có thể hướng lên hoặc xuống tùy thuộc vào giá trị của hằng số a. Khi a < 0, biểu đồ sẽ hướng xuống phía dưới. Khi a > 0, biểu đồ sẽ hướng lên phía trên. Bạn có thể thấy điều này được minh họa bên dưới:
Đỉnh Parabol.
Một đặc điểm quan trọng của parabol là có một điểm cực trị, còn được gọi là đỉnh. Khi parabol hướng lên, đỉnh đại diện cho điểm thấp nhất trên đồ thị hoặc giá trị nhỏ nhất của hàm số bậc hai biểu diễn parabol. Khi parabol hướng xuống, đỉnh đại diện cho điểm cao nhất trên đồ thị hoặc giá trị lớn nhất của hàm số bậc hai biểu diễn parabol. Trong cả hai trường hợp, đỉnh là một điểm quay trên đồ thị.
Tất cả các parabol đều cần có trục đối xứng, chạy song song với trục y và được vẽ qua điểm đỉnh.
Đầu tiên, giao điểm y là điểm mà parabol đi qua trục y. Đối với đồ thị của hàm số bậc hai, chỉ có một điểm như vậy tồn tại. Nếu có thì đường cong sẽ không phải là một hàm, vì sẽ có hai giá trị y tương ứng với một giá trị x, bằng không.
→ Cách vẽ parabol hàm bậc 2
Bước 1: Xác định tọa độ đỉnh parabol là: $(−\frac{b}{2a};-\frac{\Delta }{4a})$.
Bước 2: Tìm ra trục đối xứng $x = −\frac{b}{2a}$ (đi qua đỉnh và song song với trục tung).
Bước 3: Để tạo ra một đồ thị parabol chính xác hơn, ta cần xác định tọa độ của các giao điểm của parabol với trục tung chính (điểm (0; c)) và trục hoành (nếu có). Ngoài ra, việc xác định thêm một số điểm khác thuộc đồ thị, chẳng hạn như các điểm đối xứng với điểm (0; c) qua trục đối xứng của parabol, cũng sẽ giúp đồ thị trở nên chính xác hơn.
Bước 4: Dựa vào tính chất đối xứng, hình dạng và bề lõm của parabol, ta kết hợp các điểm lại với nhau để hoàn thiện parabol đó.
Khi vẽ parabol y = ax² + bx + c (a ≠ 0), chúng ta cần chú ý đến dấu của hệ số a. Nếu a > 0, parabol sẽ lõm lên phía trên, còn nếu a < 0, parabol sẽ lõm xuống phía dưới.
Các em có thể tìm rất nhiều điểm khác nhau trên đồ thị của hàm số. Độ chính xác của đồ thị phụ thuộc vào số lượng điểm mà chúng ta chọn. Khi chúng ta nối các điểm này với nhau, ta sẽ được một đồ thị parabol hàm số bậc hai.
Ví dụ 1: Tạo bảng biến thiên và vẽ đồ thị của các hàm số: $y=-x^2+4x-4$.
Lời giải:.
$Y=-x^2+4x-4$.
Tập xác định là tập số thực $\mathbb{R}$.
Đỉnh I có tọa độ I(2;0).
Trục đối xứng là đường thẳng có phương trình x=2.
Giao điểm với trục ngang là điểm A có tọa độ A(2; 0).
Giao điểm với trục tung là điểm B có tọa độ B(0;-4).
Điểm đối xứng với điểm B(0;-4) qua đường thẳng x=2 là C(4;-4).
Bảng biến đổi:.
Đồ thị hàm số:Output: Đồ thị biểu diễn hàm số.
Ví dụ 2: Tạo bảng biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số: $y = 3x^2 – 4x + 1$.
Lời giải:.
$Y = 3x^2 – 4x + 1$ (trong đó: $a = 3; b = -4; c = 1$).
TXĐ : $D$ là tập số thực.
Tọa độ đỉnh là điểm I có toạ độ I (2/3; -1/3).
Trục đối xứng là đường thẳng: x = 2/3.
Tính thay đổi:
$A = 3 > 0$ hàm số đảo chiều trên (-∞; 2/3). Và đồng chiều trên khoảng 2/3 ; +∞).
Chúng ta có bảng đổi mới:
Giao trục hoành y = 0 của đồ thị hàm số là nghiệm của phương trình 3x^2 – 4x + 1 = 0, với x = 1 và x = ½.
(P) giao trục tung: x = 0 => y = 1.
Đồ thị hình chữ nhật là một cấu trúc dữ liệu được sử dụng để mô phỏng và biểu diễn quan hệ giữa các đối tượng hoặc sự kiện.
Đồ thị hàm số $y = 3x^2 – 4x + 1$ là một đường parabol (P) có:
Đỉnh I(2/3; -1/3). Trục đối xứng : x = ⅔ => parabol (P) xoay lên trên.
Hãy đăng ký ngay để nhận sự tư vấn và xây dựng lộ trình ôn thi THPT Quốc gia từ giáo viên ngay từ bây giờ!
4. Sự tương quan của parabol và đường thẳng
Cho đường thẳng d: y=mx+n và parabol (P): y=ax2(a không phải là 0).
Số điểm giao của đường thẳng d và parabol (P) là số nghiệm của phương trình có hoành độ giao điểm:.
$Ax^2=mx+n ⇔ ax^2-mx-n=0$ (*).
Như chúng ta đã hiểu về giá trị của phương trình bậc hai:.
Nếu phương trình (*) có hai nghiệm phân biệt (Δ > 0), đường thẳng d sẽ cắt đồ thị (P) tại hai điểm phân biệt. Nếu phương trình (*) có nghiệm kép (Δ = 0), đường thẳng d sẽ tiếp xúc với đồ thị (P).
Phương trình (*) không có nghiệm (Δ < 0) thì đường thẳng d không giao (P).
4.1. Phương pháp giải: tìm toạ độ giao điểm của parabol và đường thẳng
Để tìm tọa độ giao điểm giữa parabol và đường thẳng, ta có thể thực hiện theo bốn bước chính sau đây:
Phương pháp giải là:
Để tiếp cận và áp dụng dễ dàng hơn, chúng ta sẽ tìm hiểu bốn dạng bài thường gặp và cách giải quyết mỗi dạng.
Dạng 1: Xác định số điểm giao của đường thẳng.
Đường thẳng: y=mx+n và đồ thị hình parabol (P): y=ax2(a ≠ 0).
Phương pháp: Số nghiệm của phương trình hoành độ giao điểm ax2-mx-n=0 là số giao điểm của đường thẳng d và parabol (P).
) Phương trình (*) có hai nghiệm khác nhau (Δ > 0) thì d cắt (P) tại hai điểm khác nhau.
) Phương trình (*) có nghiệm đôi (Δ = 0) thì đường cong tiếp xúc với điểm (P).
) Phương trình (*) không có nghiệm (Δ < 0) thì đường thẳng không cắt (điểm P).
Dạng 2: Tìm vị trí giao nhau của đường thẳng.
$D: y=mx+n$ và đường cong parabol $(P): y=ax^2(a ≠ 0)$.
Phương pháp: Xét phương trình hoành độ giao điểm $ax^2=mx+n$ ⇔ $ax^2-mx-n=0$ (*).
Giải phương trình (*) dẫn đến việc tìm thấy giá trị của x, từ đó suy ra giá trị của y.
Vị trí của các giao điểm sẽ là (x;y).
Tìm số m để đường thẳng d: $y=mx+n$ và parabol $(P): y=ax^2(a ≠ 0)$ cắt nhau tại điểm thỏa mãn điều kiện cho trước.
Phương pháp:.
Nếu đường thẳng d cắt (P) tại hai điểm phân biệt và các điểm đó nằm bên trái trục tung, thì phương trình (*) sẽ có hai nghiệm âm phân biệt.
Δ lớn hơn 0.
⇔ S < 0.
⎨ P lớn hơn 0.
Đường thẳng d cắt (P) tại hai điểm phân biệt và cả hai điểm đó đều nằm bên phải trục tung ⇔ phương trình (*) có hai nghiệm dương phân biệt:.
Δ lớn hơn 0.
⇔ S khác 0.
⎨ P lớn hơn 0.
Đường thẳng d cắt (P) tại hai điểm phân biệt nằm ở hai phía khác của trục tung ⇔ phương trình (*) có hai nghiệm trái dấu ⇔ ac < 0.
(Dòng 1) Đường thẳng d cắt đường cong (P) tại hai điểm có tọa độ thỏa mãn một biểu thức đã cho (thường biến đổi biểu thức để sử dụng công thức Vi-et).
Dạng 4: Bài toán liên quan đến bề mặt tam giác, bề mặt hình thang và độ dài đoạn thẳng từ đỉnh đến đáy của hình thang.
Phương pháp: Chúng ta sử dụng linh hoạt các phương pháp phân chia diện tích và công thức tính diện tích của tam giác, hình thang để giải bài toán.
4.2. Ví dụ minh hoạ
Ví dụ 1: Tìm vị trí giao điểm của đồ thị parabol $y=x^2$ và đường thẳng $y=2x-1$.
Lời giải.
Phương trình tọa độ ngang của điểm giao là:
$X^2=2x-1$ ⇔ $x^2-2x+1=0$.
⇔ (X-1)^2=0.
⇔ X-1=0.
⇔ X=1.
Với x=1=>$y=1^2=1$.
Vậy tọa độ giao điểm của đường cong parabol y=x2.
Và phương trình đường thẳng y=2x – 1 có điểm cắt với trục hoành là (1;1).
Tìm tọa độ của điểm chạm giữa parabol $(P): y=\frac{1}{2}x^2$ và đường thẳng $(d): y=x-\frac{m}{2}$ với m là tham số.
Lời giải:.
Phương trình tọa độ ngang của điểm giao là:
$\Frac{1}{2}x^2=x-m\Leftrightarrow x^2-2x+m=0$ (*).
Ta có:.
^\Delta’ =b’^2-ac = (-1)2-1.M=1-m^.
Với trường hợp đường thẳng tiếp xúc với đường cong bậc hai: Đường thẳng (d) tiếp xúc với parabol (P).
Nếu phương trình (*) có nghiệm đôi.
$\Delta’=0m=1$.
Khi đó, giải của phương trình (*) là:.
$X_1=x_2= -\frac{b}{2a}= -\frac{ -2}{2.1}=1$.
Với $x=1 \Rightarrow y=\frac{1}{2}.1^2=\frac{1}{2}$.
Vậy vị trí giao điểm của parabol $(P): y=\frac{1}{2}x^2$ và đường thẳng $(d): y=x-\frac{1}{2}$ là $(1; \frac{1}{2})$.
PAS VUIHOC – GIẢI PHÁP ÔN TẬP CÁ NHÂN HÓA.
Khóa học trực tuyến duy nhất đầu tiên:
⭐ Xây dựng kế hoạch học từ cơ bản đến trình độ 27+.
⭐ Lựa chọn giáo viên, lớp học, môn học theo sở thích.
⭐ Giao tiếp song hành hai chiều với giáo viên.
⭐ Học đi học lại cho đến khi nào hiểu bài thì ngừng.
⭐ Rèn kỹ năng và phương pháp giúp gia tăng hiệu suất trong việc làm bài.
⭐ Tặng toàn bộ tài liệu độc nhất vô nhị trong quá trình học tập.
Đăng ký thử học miễn phí ngay!!
VUIHOC đã hướng dẫn kỹ về lý thuyết và cách giải các bài toán liên quan đến đường parabol. Hy vọng bài viết này sẽ giúp các bạn nắm vững và áp dụng thành thạo kiến thức này. Để tìm hiểu thêm về các dạng bài tập Toán THPT, đặc biệt là chương trình Toán lớp 10, hãy truy cập trang web vuihoc.Vn hoặc đăng ký khoá học với các giáo viên tại đây.
